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Table of Contents

Kapitel 1: Einführung

Binomialkoeffizient:

Für n und k $\in$ $\mathbb{N}_0$, k $\leq$ n ist der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ definiert durch:

$$\binom{n}{k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Binomischer Lehrsatz

Für alle x, y $\in$ $\mathbb{R}$ und n $\in \mathbb{N}$ gilt:

$${(x+y)}^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k$$

Kapitel 2: Grundlagen der Mengenlehre

Injektivität

Eine Abbildung $f$ heißt injektiv, wenn für alle $a_1$, $a_2$ $\in$ A gilt: $a_1$ $\not=$ $a_2$ $\Rightarrow$ $f(a_1$) $\not=$ $f(a_2$), d.h. zu jedem b $\in$ B gibt es höchstens ein a $\in$ A mit b = $f$(a).

Surjektivität

Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn jedes Element von B als Bild eines Elemtentes von A auftritt d.h.: $\forall$ b $\in$ B $\exists$ a $\in$ A mit b = $f$(a). D.h. zu jedem b $\in$ B gibt es mindestens ein a $\in$ A mit b = $f$(a).

Bijektivität

Eine Abbildung $f$, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, heißt bijektiv. Anders ausgedrückt: Zu jedem b $\in$ B gibt es genau ein a $\in$ A mit b = $f$(a)

Komposition von Abbildungen

Es seien $g: A \rightarrow B$ und $f:C \rightarrow D$ zwei Funktionen, und es gelte $W_g \subseteq C$. Dann ist durch

$$x \mapsto f(g(x))$$

eine Funktion $f$ o g: A $\rightarrow D$ definiert. Die Funktion $f$ o g heißt Komposition von $f$ und g.

Umkehrabbildung

Die Abbildung $f$ : A $\rightarrow$ B sei bijektiv. Dann nennt man die durch $f^{-1}$ : B $\rightarrow$ A, $~f^{-1}$(b) = a $\Leftrightarrow$ $f$(a) = b, definierte Funktion die inverse Abbildung (inverse Funktion, Umkehrfunktion) von $f$.

Äquivalenz von Mengen

Zwei Mengen A und B heißen äquivalent (oder gleichmächtig), wenn es eine bijektive Abbildung von A auf B gibt (symbolisch A $\sim$ B).

Mächtigkeit; Abzählbarkeit

  • Eine Menge heißt endlich, wenn sie äquivalent zu einer Menge $\{1,\ldots,n\}, n \in \mathbb{N}$ ist. Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist gleich der Anzahl ihrer Elemente.
  • Eine Menge, die äquivalent zu $\mathbb{N}$ ist, heißt abzählbar endlich oder kurz abzählbar
  • Eine Menge, die entweder endlich oder abzählbar unendlich ist, heißt höchstens abzählbar

Kapitel 3: Die reelen Zahlen

Dichtheit von $\mathbb{Q}$

Die rationalen Punkte liegen auf der Zahlengeraden überall dicht, d.h. beiebig nahe zu jedem Punkt auf der Zahlengerade gibt es einen rationalen Punkt.

Konvergenz

Es sei $x_1$, $x_2$, $x_3$,…,$x_n$,…eine Folge rationaler Zahlen, d.h.: $x_n$ $\in$ $\mathbb{Q}$, n $\in \mathbb{N}$. Wir sagen, die Folge konvergiert für n $\rightarrow$ $\infty$ in $\mathbb{Q}$ gegen 0, wenn für jedes $\varepsilon$ $\in$ $\mathbb{Q}$ mit $\varepsilon$ > 0 eine Zahl N existert mit $\mid$$x_n$$\mid$ < $\varepsilon$ für alle n $\geq$ N ($x_n$ = $\frac{1}{n}$ konvergiert in $\mathbb{Q}$ gegen 0.)

Intervallschachtelung

Unter einer rationalen Intervallschachtelung S versteht man eine Folge

$[a_1,b_1],[a_2,b_2],\ldots,[a_n,b_n],\ldots$ von Intervallen mit $a_n,b_n \in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}$ für die gilt:

  • $a_n \leq a_{n+1} < b_{n+1} \leq b_n, n \in \mathbb{N}$,

d.h. jedes Intervall ist im vorhergehenden enthalten

  • die Längen $l_n := b_n - a_n$ der Intervalle konvergieren in $\mathbb{Q}$ gegen Null.

Intervallschachtelungsaxiom

Sei S eine rationale Intervallschachtelung. Dann gibt es einen und nur einen Punkt der Zahlengeraden, der in allen Invervallen $[a_n,b_n], n \in \mathbb{N}$ enthalten ist.

Supremum

Das Supremum von A, abgekürzt sup A, ist die kleinste obere Schranke von A: Für A $\subseteq$ $\mathbb{R}$ gilt: Eine obere Schranke s von A ist genau dann das Supremum von A, wenn es zu jedem $\varepsilon$ > 0 ein x $\in$ A gibt, so dass x > s - $\varepsilon$ ist.

Infimum

Das Infimum von A, abgekürzt inf A, ist die größte untere Schranke von A: Für A $\subseteq$ $\mathbb{R}$ gilt: Eine untere Schranke r von A ist genau dann das Infimum von A, wenn es zu jedem $\varepsilon$ > 0 ein x $\in$ A gibt, so dass x < r + $\varepsilon$ ist.

Maximum, Minimum

Sei A $\subseteq$ $\mathbb{R}$. Gilt s = sup A und s $\in$ A, so heißt s das Maximum von A, s = max A. Gilt r = inf A und r $\in$ A, so heißt r das Minimum von A, r = min A.

$\varepsilon$-Umgebung

Es sei x $\in$ $\mathbb{R}$ und $\varepsilon$ > 0. Dann heißt das Intervall $$K(x,\varepsilon) := (x - \varepsilon, x + \varepsilon) = \{y \in \mathbb{R}:~\mid y - x\mid~<~\varepsilon \}$$ eine $\varepsilon$-Umgebung von x und die Menge $$K_r(x,\varepsilon) = \{y \in \mathbb{R}:~0~<~\mid y - x\mid~<~\varepsilon \}$$ eine reduzierte $\varepsilon$-Umgebung von x.

Typen von Punkten

Es sei A $\subseteq$ $\mathbb{R}$. Ein Punkt x $\in$ $\mathbb{R}$ heißt:

  • innerer Punkt von A, wenn ein $\varepsilon$ > 0 existiert, so dass K(x,$\varepsilon$) $\subseteq$ A
  • äußerer Punkt bezüglich A, wenn x innerer Punkt von A$^c$ ist
  • Randpunkt von A, wenn jede $\varepsilon$-Umgebung K(x,$\varepsilon$) einen Punkt von A und einen Punkt von A$^c$ enthält
  • Häufungspunkt von A, wenn jede $\varepsilon$-Umgebung von x unendlich viele Punkte von A enthält. Gleichbedeutend damit ist, dass jede reduzierte $\varepsilon$-Umgebung von x mindestens einen Punkt von A enthält.
  • isolierter Punkt von A, wenn x $\in$ A und wenn es eine reduzierte $\varepsilon$-Umgebung K$_r$(x,$\varepsilon$) gibt, so dass K$_r$(x,$\varepsilon$) $\cap$ A = 0.

Offene, abgeschlossene Menge

Die Menge A $\subseteq$ $\mathbb{R}$ heißt offen, wenn A nur aus inneren Punkten besteht. Die Menge A $\subseteq$ $\mathbb{R}$ heißt abgeschlossen, wenn A alle Randpunkte enthält.

Bolzano-Weierstraß:

Jede beschränkte unendliche Teilmenge von $\mathbb{R}$ hat mindestens einen Häufungspunkt.

Kapitel 4: Zahlenfolgen

Konvergenz einer Folge

Eine Folge $\{$$a_n$$\}$ heißt konvergent mit dem Grenzwert a, wenn es zu jedem $\varepsilon$ > 0 ein Index N($\varepsilon$) exisitert, so dass $\forall$ n $\in \mathbb{N}$ mit n $\geq$ N($\varepsilon$) gilt: $$\mid a_n - a \mid < \varepsilon$$ In diesem Fall schreibt man $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a$$ Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.

Eindeutigkeit des Grenzwertes

Ist eine Folge $\{$$a_n$$\}$ konvergent, so ist ihr Grenzwert eindeutig bestimmt ($\exists$! 1 Grenzwert).

Beschränktheit konv. Folgen

Jede konvergente Folge ist beschränkt, d.h. $\exists$ A > 0 mit $\mid$$a_n$$\mid$ $\leq$ A $\forall$ n $\in \mathbb{N}$.

Cauchyfolge

Eine Folge $\{$$a_n$$\}$ ist eine Cauchyfolge, wenn es zu jedem $\varepsilon$ > 0 ein N = N($\varepsilon$) gibt, so dass für alle m, n $\in \mathbb{N}$ mit m, n $\geq$ N($\varepsilon$) gilt $\mid$$a_m$ - $a_n$$\mid$ < $\varepsilon$ ; (Jede Cauchyfolge ist beschränkt)

Konvergenzkriterium v. Cauchy

Eine Folge $\{$$a_n$$\}$ reller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

Monotonie von Folgen

Eine Folge $\{$$a_n$$\}$ heißt

  • monoton wachsend, wenn $a_n$ $\leq$ $a_{n+1}$$~~~\forall$ n $\in \mathbb{N}$,
  • streng monoton wachsend, wenn $a_n$ < $a_{n+1}$$~~~\forall$ n $\in \mathbb{N}$,
  • monoton fallend, wenn $a_n$ $\geq$ $a_{n+1}$$~~~\forall$ n $\in \mathbb{N}$,
  • streng monoton fallend, wenn $a_n$ > $a_{n+1}$$~~~\forall$ n $\in \mathbb{N}$

Hauptsatz über monotone Folgen

Jede monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge $\{a_n\}$ ist konvergent, mit

$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = sup \{a_n\}$$
Jede monoton fallende und nach unten beschränkte Folge $\{b_n\}$ ist konvergent, mit $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n = \inf \{b_n\}$$

Einschließungsprinzip

Sind die Folgen $\{$$a_n$$\}$, $\{$$c_n$$\}$ konvergent gegen denselben Grenzwert a und gilt für eine Folge $\{$$b_n$$\}$ : $a_n$ $\leq$ $b_n$ $\leq$ $c_n$ $\forall$ n $\in \mathbb{N}$, n $\geq $ N , so ist auch $\{$$b_n$$\}$ konvergent mit $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$$b_n$ = a.

Kapitel 5: Reihen

Cauchy-Kriterium

Die Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty$$a_k$ ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem $\varepsilon$ > 0 ein N($\varepsilon$) gibt, so dass für alle m, n $\geq$ N($\varepsilon$) gilt: $$\mid s_n - s_m \mid < \varepsilon,$$ also $\mid$$a_{m+1}$+$\ldots$+$a_n$$\mid$ < $\varepsilon$.

Glieder einer konvergenten Reihe bilden Nullfolge

Ist die Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty$$a_k$ konvergent, so gilt $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$$a_n$ = 0

Konvergenzkriterium von Leibnitz

Eine Reihe der Bauart $\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k$$a_k$, mit $a_k$ > 0 für k = 0,1,2,$\ldots$ heißt alternierende Reihe

Leibnitz-Kriterium für alternierende Reihen

Falls die Folge {$a_k$} monton gegen 0 strebt, so ist die alternierende Reihe $\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k$$a_k$ konvergent. (Nullfolge und Monotonie zu zeigen!)

Reihenrest bei altern. Reihen

Für den Reihenrest $R_n = s - s_n$ einer alternierenden Reihe gilt: $$\mid R_n\mid < a_{n+1}, sgn~R_n = (-1)^{n+1}$$

Absolute Konvergenz

Eine Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty$$a_k$ heißt absolut konvergent , wenn die Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty$$\mid$$a_k$$\mid$ konvergiert.

Majorante

Es sei $\sum\limits_{k=1}^\infty$$a_k$ eine Reihe mit positiven Gliedern, also $a_k$ > 0. Falls M $\in \mathbb{N}$ existiert, so dass für alle k $\geq$ M gilt $$\mid c_k\mid\leq a_k,$$ dann heißt $\sum\limits_{k=1}^\infty$$a_k$ Majorante der Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty$$c_k$.

Majorantenkriterium

Eine Reihe, die eine konvergente Majorante besitzt, ist absolut konvergent.

Minorante

Es sei $\sum\limits_{k=1}^\infty$$b_k$ eine Reihe mit positiven Gliedern, also $b_k$ > 0. Falls M $\in \mathbb{N}$ exisitert, so dass für alle k $\geq$ M gilt $$\mid c_k\mid \geq b_k,$$ dann heißt $\sum\limits_{k=1}^\infty$$b_k$ Minorante der Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty$$c_k$.

Minorantenkriterium

Eine Reihe, die eine divergente Minorante besitzt, ist nicht absolut konvergent.

Quotientenkriterium (i)

Gilt für die Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty$$a_k$ ab einem gewissen Index N, also für alle k $\geq$ N

  • |$\frac{a_{k+1}}{a_k}$| $\leq$ q < 1, so ist die Reihe absolut konvergent
  • |$\frac{a_{k+1}}{a_k}$| $\geq$ 1, so ist die Reihe divergent
  • |$\frac{a_{k+1}}{a_k}$| $\leq$ 1, jedoch nicht (1), so ist keine Aussage möglich

Quotientenkriterium (ii)

Existiert $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}$$\mid$$\frac{a_{k+1}}{a_k}$$\mid$ = r, so gilt:

  • für $r < 1$ ist die Reihe absolut konvergent
  • für $r > 1$ ist sie divergent
  • für $r = 1$ ist keine Aussage möglich

Wurzelkriterium (i)

Gilt für eine Reihe $\sum\limits_{k=1}^\infty$$a_k$ ab einem gewissen Index, also für k $\geq$ N

  • $\sqrt[k]{\mid a_k \mid}$ $\leq$ q < 1, so ist die Reihe absolut konvergent. Gilt für k $\geq$ N
  • $\sqrt[k]{\mid a_k \mid}$ $\geq$ 1, so ist die Reihe divergent. Gilt
  • $\sqrt[k]{\mid a_k \mid}$ $\leq$ 1, jedoch nicht (1), so ist keine Aussage möglich.

Wurzelkriterium (ii)

Exisitert $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}$$\sqrt[k]{\mid a_k \mid}$ = r, so gilt:

  • für r < 1 ist die Reihe absolut konvergent
  • für r > 1 ist sie divergent
  • für r = 1 ist keine Aussage möglich.

(Un)bedingte Konvergenz

Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn durch eine beliebige Umordnung sowohl ihre Konvergenz als auch die Summe erhalten bleiben. Andernfalls heißt die Reihe bedingt konvergent.

unbedingte Konvergenz $\Leftrightarrow$ absolute Konvergenz

Eine Reihe ist genau dann unbedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent ist.

Cauchy-Produkt

Die Cauchy'sche Produktreihe zweier Reihen $\sum\limits_{k=0}^\infty$$a_k$ und $\sum\limits_{k=0}^\infty$$b_k$ ist die Reihe:

$$\sum\limits_{k=0}^\infty c_k = \sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{l=0}^ka_{k-l}b_l$$

Cauchy-Produkt bei absoluter Konvergenz

Die Reihen $\sum\limits_{k=0}^\infty$$a_k$ = a und $\sum\limits_{k=0}^\infty$$b_k$ = b seien absolut konvergent. Dann konvergiert ihre Cauchy'sche Produktreihe $\sum\limits_{k=0}^\infty$$c_k$ absolut mit der Summe c = a b.

Kapitel 6: Reelle Funktionen

Beschränkte Funktionen

Sei $f$ : A $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ eine reelle Funktion. $f$ heißt

  • nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl K gibt, so dass $f(x)$ $\leq$ K $\forall$ x $\in$ A (K…obere Schranke);
  • nach unten beschränkt, wenn es eine reelle Zahl L gibt, so dass $f(x)$ $\geq$ L $\forall$ x $\in$ A (L…untere Schranke);
  • beschränkt, wenn $f$ nach oben und unten beschränkt ist.

Periodische Funktion

$f$ : $\mathbb{R}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ heißt periodisch mit der Periode p > 0, wenn p die kleinste reelle Zahl ist, so dass, $f (x + p)$ = $f(x)$ $\forall$ $x$ $\in$ $\mathbb{R}$

Gerade, ungerade Funktion

$f : (-a, a) \rightarrow \mathbb{R}$, a > 0, heißt gerade, wenn $f(x) = f(-x), x \in (-a, a)$, und ungerade, wenn $f(x) = -f(-x), x \in (-a, a)$. (analog für $[-a, a])$.

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse (Cosinus, od. $x^²$), der einer ungeraden Funktion symmetrisch zum Ursprung (Sinus, oder $x^³$).

Stetigkeit (Limes-Definition)

Sei A $\subseteq$ $\mathbb{R}$ offen. Eine Funktion $f$ : A $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ heißt stetig an der Stelle c $\in$ A, wenn für jede konvergente Folge {$x_n$} in A mit $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}$ $x_n$ = c gilt:

$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f( x_n ) = f(c)$$

Stetigkeit ($\varepsilon$-$\delta$-Definition)

Sei A $\subseteq$ $\mathbb{R}$ offen. Eine Funktion $f$ : A $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ heit stetig an der Stelle c $\in$ A, wenn es zu jeder reellen Zahl $\varepsilon$ > 0 eine reelle Zahl $\delta$ = $\delta$($\varepsilon$) > 0 gibt, so dass für alle x mit $\mid c - x\mid < \delta$ gilt: $$\mid f(c) - f(x) \mid < \varepsilon$$

Stetigkeit auf einem Intervall

$f$ : (a, b) $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ heißt stetig auf (a, b), wenn $f$ stetig an jeder Stelle x $\in$ (a, b) ist. Wir schreiben dafür $f$ $\in$ C(a, b).

Kriterium für Stetigkeit

Die Funktion $f(x)$ ist genau dann stetig an der Stelle $c$, wenn $f(c-)$ und $f(c+)$ existieren und $f(c-) = f(c+) = f(c)$ gilt.

Hebbare Unstetigkeit; Sprungstelle

Falls für eine Funktion $f$ die einseitigen Grenzwerte $f(c-), f(c+)$ existieren und $f(c-) = f(c+)$ $\not=$ $f(c)$ gilt, so spricht man von einer hebbaren Unstetigkeit.

Falls für eine Funktion $f$ die einseitigen Grenzwerte $f(c-), f(c+)$ existieren und $f(c-)$ $\not=$ $f(c+)$ gilt, so spricht man von einer Sprungstelle mit Sprunghöhe $\mid$$f(c+) - f(c-)$$\mid$.

$f(x)$ = sgn$^2$ x. Die Unstetigkeit kann durch Definition $f(0)$ := 1 behoben werden. $f(x)$ = sgn x ist der Punkt $x$ = 0 eine Sprungstelle mit Sprunghöhe 2.

Pol, Ordnung

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle c einen Pol der Ordnung $\alpha$, wenn $f$ geschrieben werden kann als $f(x)$ = $\frac{g(x)}{(x-c)^\alpha}$, $\alpha$ > 0, wobei $g$ an der stelle $c$ stetig ist und $g(c)$ $\not=$ 0.

(Weierstraß) Minimum und Maximum stetiger Funktionen

Auf einem abgeschlossenen Intervall nimmt eine stetige Funktion stets ihr Minimum und Maximum an.

Zwischenwertsatz von Bolzano

Eine auf einem abgeschlossenen Intervall $I$ = [a, b] stetige Funktion $f$ : $I$ $\rightarrow$ $ \mathbb{R}$ nimmt jeden Zwischenwert (mindestens) einmal an, d.h.:

$\forall$ $\eta$ $\in$ [$\underset{\text{x$\in$I}}{min}$ $f$(x), $\underset{\text{x$\in$I}}{max}$ $f$(x)] $\exists$ c $\in$ I mit $f(c)$ = $\eta$

Gleichmäßige Stetigkeit

Eine Funktion $f$(x) heißt gleichmäßig stetig auf dem Intervall $I \subseteq$ $\mathbb{R}$, wenn zu jedem $\varepsilon$ > 0 ein $\delta$ existiert, so dass $\mid$$x_1$ $-$ $x_2$$\mid$ < $\delta$ folgt $\mid$$f$($x_1$) $-$ $f$($x_2$)$\mid$ < $\varepsilon$

Lipschitz-stetige Funktion

Eine Funktion $f$(x) heißt Lipschitz-stetig auf dem Intervall $I$, wenn es eine Konstante L $\geq$ gibt, so dass

$$|f(x_1) - f(x_2)| \leq L~|x_1 - x_2|~\forall x_1, x_2 \in I.$$

Die betreffende Konstante L heißt Lipschitzkonstante von $f$ auf $I$.

Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ gleichmäßig stetig

Lipschitz-Stetigkeit impliziert Stetigkeit.

(Streng) monotone Funktion

$f$(x) heißt auf dem Intervall $I$

  • streng monoton wachsend, wenn $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$,
  • monoton wachsend, wenn $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$,
  • streng monoton fallend, wenn $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$,
  • monoton fallend, wenn $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$.

Kapitel 7: Polynome und algebraische Gleichungen:

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom vom Grad $\geq$ 1 hat mindestens eine (reelle oder komplexe) Nullstelle.

Identitätssatz für Polynome

Seien p(x) und q(x) zwei Polynome vom Grad $\leq$ n. Falls die beiden Polynome an n + 1 paarweise verschiedenen Stellen den gleichen Wert haben, so sind die Polynome identisch, d.h. p(x) = q(x) für alle x $\in \mathbb{R}$.

Rationale Funktion

Eine Funktion R(x) = $\frac{p(x)}{q(x)}$, wobei p(x) und q(x) Polynome sind, heißt rationale Funktion. Der Definitionsbereich von R(x) ist die Menge D = $\mathbb{R}~\backslash~ \{x_1,\ldots,x_r\}$, wobei die $x_i, ~i=1\ldots$r, die Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) sind.

Kapitel 9: Differentialrechnung

Differenzierbarkeit

Sei $f : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ und x $\in (a, b)$. Wenn $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x~+~h)~-~f(x)}{h}$ existiert, dann heißt $f$ differenzierbar an der Stelle x. Man schreibt

$$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0} \frac{f(x~+~h)~-~f(x)}{h}$$

und bezeichnet $f'(x)$ als die 1. Ableitung von $f$ an der Stelle x.

Differentiation einer zusammengesetzten Funktion

Hier gilt die wichtige Kettenregel:

Unter den Voraussetzungen

  • die Zusammengesetzung $(f\circ g)(x)$ ist definiert,
  • die Funktion $g$ ist an der Stelle x differenzierbar,
  • die Funktion $f$ ist an der Stelle $g(x)$ differenzierbar,

ist auch die Funktion $f\circ g$ an der Stelle differenzierbar und es gilt $$(f \circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$$

Ableitung der Umkehrfunktion

Sei $f(x)$ in $(a,b)$ differenzierbar und streng monoton, weiters sei $f'(x) \not= 0,x \in (a,b)$. Dann existiert die Umkehrfunktion $f^{-1}$ und ist differenzierbar. Es gilt

$$(f^{-1}(y))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

Stetige Differenzierbarkeit, (i)

$f: I = (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ heißt differenzierbar auf $I$, falls $f'(x)$ an der Stelle $x \in I$ existiert. Ist $f'(x)$ stetig auf $I$, so heißt $f(x)$ stetig differenzierbar auf $I$, was man mit $f \in C^1(a,b)$ notiert.

Stetige Differenzierbarkeit, (ii)

$f(x)$ heißt stetig differenzierbar auf $[a,b]$, wenn $f$ auf $[a,b]$ stetig ist, auf $(a,b)$ differenzierbar und die einseitigen Grenzwerte $f'(a+),f'(b-)$ existieren. Man schreibt dafür $f \in C^1[a,b]$.

Mittelwertsatz der Differentialrechnung, (i)

$f(x)$ sei stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $(a,b)$. Dann gibt es mindestens einen Punkt $\xi \in (a,b)$, so dass gilt

$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Mittelwertsatz der Differentialrechnung, (ii)

Es seien $f, g$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $(a,b)$. Dann $\exists\xi \in (a,b)$, so dass

$$f'(\xi)(g(b) - g(a)) = g'(\xi)(f(b) - f(a))$$

Der Spezialfall $g(x) = x$ liefert den 1. Mittelwertsatz.

Monotonie und Vorzeichen der Ableitung

Sei $f$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar auf $(a,b)$. Dann gilt:

  • $f'(x) > 0~~\forall x \in (a,b) \Rightarrow f$ ist streng monoton wachsend auf $[a,b]$
  • $f'(x) \geq 0~~\forall x \in (a,b) \Rightarrow f$ ist monoton wachsend auf $[a,b]$
  • $f'(x) < 0~~\forall x \in (a,b) \Rightarrow f$ ist streng monton fallend auf $[a,b]$
  • $f'(x) \leq 0~~\forall x \in (a,b) \Rightarrow f$ ist monoton fallend auf $[a,b]$

Regel von de l'Hospital (i)

Die Funktionen $f,g : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ seien stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar.
Es sei $f(a) = g(a) = 0$,~~~~$g'(x) \not= 0,~~~~x \in (a,b)$, und es existiere

$$\lim\limits_{x \rightarrow a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \alpha~~~~(\alpha = \pm\infty~zugelassen!)$$

Dann ist auch

$$\lim\limits_{x \rightarrow a+} \frac{f'(x)}{g(x)} = \alpha$$

Eine analoge Version des Satzes gilt natürlich auch für den linksseitigen Grenzwert: $\lim\limits_{x \rightarrow b-} \frac{f(x)}{g(x)}$

Regel von de l'Hospital (ii)

Ist $\lim\limits_{x \rightarrow a+} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow a+} g(x) = +\infty$ und $\lim\limits_{x \rightarrow a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \alpha$, mit $\alpha = \overset{-}{\mathbb{R}}$, dann gilt

$$\lim\limits_{x \rightarrow a+} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$$

(ein analoges Resultat gilt auch für $\lim\limits_{x \rightarrow a-} und \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty})$

Konvexe, Konkave Funktionen

Eine Funktion heißt konvex auf einem Intervall $I$, wenn für je zwei verschiedene Punkte $x_1, x_2 \in I$ und für alle $\lambda \in (0,1)$ stets gilt:

$$f((1 - \lambda)x_1 + \lambda x_2) \leq (1 - \lambda)f(x_1) + \lambda(x_2)$$

Gilt dagegen die umgekehrte Ungleichung, so heißt $f$ konkav. Stehen in der obigen Beziehung die Zeichen < bzw. >, so heißt $f$ streng konvex bzw. streng konkav

Kriterium für Konvexität (Konkavität

Ist die Funktion $f$ auf dem Intervall $I$ stetig und im Inneren desselben zweimal differenzierbar, so ist sie

  • konvex, falls $f''(x) \geq 0$ im Inneren
  • konkav, falls $f''(x) \leq 0$ im Inneren
  • streng konvex, falls $f''(x) > 0 $ im Inneren
  • streng konkav, falls $f''(x) < 0$ im Inneren

Kapitel 10: Lokales und globales Verhalten von Funktionen

Taylor'sche Satz

Es sei $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine $(n + 1)$-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle $x_0 \in [a,b]$ und $x \in [a,b]$ die Taylor'sche Formel:

$$f(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_{n+1}(x)$$

mit dem Restglied der Ordnung n + 1

$$R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_0 + \vartheta(x - x_0))}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n+1},~~~~\vartheta \in [0,1]$$

'Groß O', 'klein o' (i)

Bleibt der Quotient $\frac{f(x)}{\varphi(x)}$ für alle $x \in D$, die hinreichend nahe bei $x_0$ liegen, beschränkt so schreibt man symbolisch: $"f(x) = O(\varphi(x))$ für x $\rightarrow x_0"$.

In Worten: $f$ ist an der Stelle $x_0$ höchstens von derselben Größenordnung wie $\varphi$. Oder: $f(x)$ ist ein “groß $O$” von $\varphi(x)$ für $x \rightarrow x_0.$

Gilt die stärkere Bedingung $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x)}{\varphi(x)}$ = 0, so schreibt man symbolisch $"f(x) = o(\varphi(x))$ für $x \rightarrow x_0"$: $f(x)$ ist ein “klein o” von $\varphi(x)$ für $x \rightarrow x_0.$

'Groß O', 'klein o' (ii)

Bleibt der Quotient $\frac{f(x)}{\varphi(x)}$ für alle $x \in D$, die hinreichend groß sind, beschränkt, so schreibt man: $"f(x) = O(\varphi(x))$ für $x \rightarrow +\infty"$.

Gilt die stärkere Bedingung $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{\varphi(x)}$ = 0, so schreibt man $"f(x) = o(\varphi(x))$ für $x \rightarrow +\infty"$.

Charakterisierung relativer Extrema

Sei $f'(x_0), f^{(k)}(x_0) = 0$ für $2 \leq k \leq n$, jedoch $f^{(n+1)}(x_0) \not= 0$.

  • Im Fall $(n + 1)$ gerade ist $x_0$ für $f^{(n+1)}(x_0) > 0$ ein lokales Minimum, für $f^{(n+1)}(x_0) < 0$ ein lokales Maximum.
  • Für $(n + 1)$ ungerade ist $x_0$ kein lokales Extremum, sondern ein Sattelpunkt, d.h. in jeder Umgebung von $x_0$ gibt es Punkte mit $f(x) > f(x_0)$ und mit $f(x) < f(x_0)$

Kapitel 11: Iterationsverfahren

Newtonverfahren

$$x_{(n+1)} := x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},~~~n = 0,1,2,\ldots$$

Kapitel 12: Das Riemann-Integral

Riemann-Integrierbarkeit

$f$ sei auf $[a,b]$ beschränkt. $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $[a,b]$, falls sup $\cal U = \inf \cal O$. Diese Zahl heißt dann $"$(Riemann-)Integral von $f$ über $[a,b]"$,

$$\int_a^bf(x)dx := sup~\cal U = \inf \cal O$$

Integral als Grenzwert von Riemann-Summen

$f(x)$ sei integrierbar auf $[a,b]$. Dann gilt $$\int_a^bf(x)dx = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}U(f;T_n) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} O (f; T_n) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}R(f; T_n, Z_n)$$

für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{T_n\}$ und für jede beliebige Wahl von Zwischenstellen $\{Z_n\}$

Mittelwertsatz der Integralrechnung(i)

Ist $f(x)$ stetig auf $[a,b]$, so gibt es ein $\xi \in [a,b]$, so dass

$$\int_a^bf(x)dx = f(\xi)(b - a)$$

Mittelwertsatz der Integralrechnung(ii)

$f(x)$ sei stetig auf $[a,b]$ und $g : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ sei integrierbar, $g(x) \geq 0, x \in [a,b]$, $\int\limits_a^bg(x)dx > 0$. Dann existiert $\xi \in [a,b]$, so dass

$$\int_a^bf(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^bg(x)dx$$

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, (i)

Sei $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. Für alle $x \in [a,b]$ ist die Funktion $F(x) = \int\limits_a^b f(u)du$ stetig differenzierbar und es gilt

$$F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^xf(s)ds = f(x)$$

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, (ii)

Es sei $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und F sei eine Stammfunktion von $f$. Dann gilt für $a,b \in I$

$$\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a) =: F(x)\overset{b}{\underset{a}{\mid}}$$

Partielle Integration

$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx + C$$

Lokale Integrierbarkeit, (i)

$f : [a,\infty] \rightarrow \mathbb{R}$ heißt lokal integrierbar auf $[a, \infty)$, wenn $\int\limits_a^xf(t)dt$ existiert für alle $x \in [a,\infty)$

Uneigentliches Integral, (i)

$f$ sei lokal integrierbar auf $[a,\infty]$. Existiert $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\int\limits_a^xf(t)dt$, so heißt $f$ über $[a,\infty)$ uneigentlich integrierbar. Den Grenzwert bezeichnet man mit $\int\limits_a^\infty f(t)dt$ und nennt ihn das uneigentliche Integral von $f$ über $[a,\infty)$. Existiert der Grenzwert nicht, so sagt man das uneigentliche Integral divergiert. (Analoge Definition für $(-\infty,b])$.

Kriterium für uneigentliche Integrierbarkeit

$f : [a,\infty) \rightarrow$ sei lokal integrierbar. $f$ ist genau dann über $[a,\infty)$ integrierbar, wenn zu jedem $\varepsilon > 0$ eine Zahl $A = A(\varepsilon)$ existiert, so dass

$$\mid\int\limits_\alpha^\beta f(t) dt \mid < \varepsilon~für~\alpha, \beta > A$$

Uneigentliches Integral auf $(-\infty,\infty)$

Gibt es ein $c \in \mathbb{R}$, so dass die uneigentliche Integrale

$$\int_{-\infty}^c f(t)dt~und~\int_c^\infty f(t)dt$$

konvergieren dann konvergiert auch $\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)dt$, und man setzt

$$\int_{-\infty}^\infty f(t)dt = \int_{-\infty}^c f(t)dt + \int_c^\infty f(t)dt,$$

andernfalls divergiert $\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)dt$

Lokale Invergtierbarkeit, (ii)

$f: (a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ heißt lokal integrierbar über $(a,b]$, wenn $\int\limits_x^b f(t)dt$ existiert für alle $x \in (a,b]$.

Uneigentliches Integral, (ii)

$f$ sei lokal integrierbar über $(a,b]$ und unbschränkt in a. Existiert $\lim\limits_{x \rightarrow a+} \int\limits_x^b f(t)dt$, so heißt $f$ über $(a,b]$ uneigentlich integrierbar. Den Grenzwert bezeichnet man mit $\int\limits_a^b f(t)dt$ und nennt ihn das uneigentliche Integral von $f$ über $(a,b]$.

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